Teorema de Rolle

Para o último exame tivemos que estudar uns cantos teorema e entre eles un dos que sobresalía era o teorema de Rolle por iso vou falar un pouquiño sobre el.
En cálculo diferencial, o teorema de Rolle demostra a existencia dun punto interior nun intervalo aberto para o cal a derivada dunha función derivable anúlase cando o valor desta nos extremos do intervalo é o mesmo. É xeneralizado mediante o teorema do valor medio, do que este é un caso especial. É un dos principais teoremas en cálculo debido ás súas aplicacións.
Foi establecido en 1691 polo matemático francés Michel Rolle (1652-1719).

Demostración:
Sábese que existen tres posibilidades, ou ben a función que consideramos é constante, ou ben ten algún punto x onde o valor da función é maior ou ben este valor é menor que nos extremos. Para o primeiro caso é trivial que nalgún punto a función ten derivada nula (na definición de derivada o cociente incremental é cero).
Grazas á continuidade de f, a imaxe de [a, b], é un conxunto conexo de R, e por tanto é un intervalo, o intervalo imaxe.
 A imaxe por unha función continua dun conxunto compacto é un conxunto compacto, e por tanto o intervalo imaxe é pechado e de lonxitude finita: é da forma [m, M], con m o valor mínimo de f e M o seu valor máximo.
Se m = M , a función é constante, e calquera punto c de (a, b) convén. Descartado este caso, m ? M significa que un dos dous non é igual a f(a) = f(b). Supoñamos que sexa M. Entón M > f(a) = f(b), e por tanto o máximo M está alcanzado no interior do intervalo.
Sexa c en [a, b] tal que f(c) = M. Por definición do máximo, M = f(c) ? f(x) para todo x de [a, b]. Entón o cociente (f(c) - f(x)) / (c - x) é positivo cando x < c (porque o seu numerador é sempre positivo e o seu denominador é positivo non nulo), e é negativo cando x > c (o denominador vólvese negativo non nulo). Pero f'(c) é por definición o límite deste cociente cando x tende cara a c. O límite pola esquerda, f '(c-), ten que ser igual ao límite pola dereita, f '(c+). Por tanto este límite común é nulo, ou sexa f '(c) = 0.
A demostración é moi similar se é o mínimo que está alcanzado en (a, b).

Fonte de información: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rolle